New PDF release: Wesner - Trigonometry with Applications

By Terry Wesner

ISBN-10: 1932661808

ISBN-13: 9781932661804

This article is designed to function a one-semester advent to trigonometry and its purposes for college kids.

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Beweis. Algebra. Bemerkung. F¨ ur jede endliche Gruppe G, jede Primzahl p, jede p-Sylowgruppe P von G und jeden Normalteiler N von G gilt nach Aufgabe 1 von Blatt 3: P ∩ N ist p-Sylowgruppe von N , und P N/N ist p-Sylowgruppe von G/N . 4. Satz (Frattini-Argument (Frattini, 1852–1925)). Gegeben seien eine endliche Gruppe G, ein Normalteiler H von G, eine Primzahl p und eine p-Sylowgruppe P von H. Dann ist G = NG (P )H. Beweis. h. xP x−1 ist auch p-Sylowgruppe von H. Daher operieren G und H transitiv durch Konjugation auf der Menge Ω aller p-Sylowgruppen von H.

IdG . Bemerkung. Aus diesem Satz folgt sofort: Ist p eine Primzahl, G eine endliche p-Gruppe und α ∈ Aut(G) mit α(g)Φ(G) = gΦ(G) f¨ ur g ∈ G, so ist | α | eine Potenz von p. 1. Bemerkung. Gegeben seien Gruppen G und K. Wir wenden uns dem Problem zu, alle Gruppen H zu bestimmen, die einen zu K isomorphen Normalteiler N mit zu G isomorpher Faktorgruppe H/N besitzen. Dazu f¨ uhren wir den folgenden Begriff ein. Definition. Gegeben seien Gruppen G und K. Eine Erweiterung von G mit K ist ein Tripel (H, ε, ν), das aus einer Gruppe H, einem Monomorphismus ε : K → H und einem Epimorphismus ν : H → G mit Ker(ν) = ε(K) besteht.

Ms Repr¨ asentanten f¨ ur die Konjugationsklassen maximaler Untergruppen von G, so ist also s s i=1 Wegen |G : Mi | ≤ |G| 2 |G : Mi |. (|Mi | − 1)|G : Mi | = 1 + s|G| − |G| = 1 + i=1 f¨ ur i = 1, . . h. s = 1. Dann ist aber |G| = 1 + |G| − |G : M1 |, und man erh¨alt den Widerspruch |G : M1 | = 1. (ii) Sei |G| = pa1 1 . . par r mit a1 , . . , ar ∈ N und paarweise verschiedenen Primzahlen p1 , . . , pr , und sei H maximaler Normalteiler von G. Nach (i) ist |G : H| Primzahl. A. sei |G : H| = p1 .

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by David
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